Proseguo riesumando i miei thread ex di astrofili.org.
La figura che segue, a sinistra, si può trovare facilmente in molti testi. E' usata per spiegare che in rifrazione una superficie con un errore "e" produce un fronte d'onda "e/2".
La situazione reale, come quella della figura a destra dove anche gli errori delle altre superfici sono resi evidenti, di solito non è commentata, lasciando a chi legge trarre le conclusioni.
In qualche caso queste figure fanno parte di testi divulgativi, nei quali si spiega il concetto utilizzando la lingua corrente. La lingua dell'ottica è la fisica e la matematica e succede che talvolta che la lingua corrente permette interpretazioni errate, che non vengono facilmente scoperte da chi scrive e da chi conosce la materia.
Così la mancata spiegazione nel dettaglio di che cosa succede nel caso a destra della figura (perchè evidente a chi conosce la materia) induce in qualche caso a ritenere che non tanto una, ma l'insieme di 4 superfici con errore superficiale "e" produca un errore sul fronte d'onda " e/2".
E' giusta questa interpretazione? Basterebbe pensare che, qualora gli errori sulle due superfici fossero diversi, come in figura " e " ed "e' " e si volesse lo stesso considerare valida la spiegazione che 4 superfici producono un errore e/2 non si saprebbe più dire quale e prendere: " e " oppure " e' "?
Ma questi sono ragionamenti che semmai possono evidenziare qualche difficoltà. Come stanno le cose? Questa non è materia in cui si uò andare a maggioranza, né si può cercare quale sia la maggioranza delle versioni che si possono trovare in diversi testi.
Una sola è la soluzione giusta e per individuarla occorre partire dai principi della Fisica e spiegare "perchè" un fronte d'onda viene deformato al passaggio su una superficie irregolare.
Per spiegarlo prendiamo a riferimento la figura che segue, che equivale a una lente con raggi di curvatura infiniti. Questo semplifica il ragionamento rettificando i percorsi ottici. Poi si potrà vedere che per raggi finiti nulla cambia.
Immaginiamo un fronte d'onda che si deve propagare da A a B. La luce ha velocità c nell'aria (vuoto) e velocità c/n nel mezzo con indice di rifrazione n. In altre parole la luce va più piano nel vetro (1,5 volte più piano). Osservando la figura si realizza che se il vetro presenta due bugne, come nell'esempio, aumenta il percorso da fare nel vetro (in cui la luce è più lenta) e si riduce quello nell'aria (dove la luce è più veloce.
Quindi la luce arriverà in B più tardi se il vetro ha due bugne come quelle mostrate in figura.
Vale appena la pena osservare che arrivare in B più tardi, significa anche che prima, allo stesso tempo in cui la luce sarebbe arrivata in B senza le bugne, la luce si trova più indietro. Un po' come in una gara di cento metri piani: il concorrente che arriva in ritardo al traguardo, è indietro al primo quando il primo passa il traguardo. Quanto indietro? Basta moltiplicare il tempo di ritardo per la velocità del concorrente per sapere quanto spazio ancora gli manca al traguardo.
Conviene, nelle analisi, calcolare prima il tempo di ritardo e poi convertirlo in spazio moltiplicandolo per la velocità della luce.
Quanto tempo ci mette la luce ad andare da A a B con e e senza le bugne?
Facciamo prima il calcolo senza le bugne. In questo caso la luce percorre il tratto L1 alla velocità c, qundi il tratto L2 alla velocità c/n, quindi il tratto L3 alla velocità c.
Per percorrere il tratto L1 la luce impiega il tempo:
Per percorrere il tratto L2 la luce impiega il tempo:
Infine per percorrere il tratto L3 la luce impiega il tempo:
Complessivamente quindi la luce, senza difetti superficiali, per andare da A a B impiega il tempo:
Passiamo ora a considerare il caso in cui le superfici abbiano degli errori. Facciamo la convenzione di indicare con valori positivi errori che corrispondono a maggior spessore del vetro (bugne) come indicato in figura con e1 ed e2 . Ovviamente un valore negativo indica un avvallamento.
Quando ci sono deviazioni superficiali (con la convenzione di segno detta) il tratto L1 diventa L1-e1, L2 diventa L2+e1+e2, L3 diventa L3-e2.
L'espressione per il tempo complessivo di prima ora diventa (tenuto conto delle nuove lunghezze da percorrere nei tre mezzi):
Questo è il tempo che la luce impiega per raggiungere quando ci sono bozze. Il ritardo ovviamente è la differenza fra il tempo in condizioni di riferimento e questo e vale:
Facendo le semplificazioni, come mostrato, si ricava che il ritardo dipende solo dalle differenze di percorso e1 ed e2. Ma prima di passare alle conclusioni, moltiplicvhiamo il tempo di ritardo per la velocitò della luce per ricavare il ritardo spaziale:
Come si vede il ritardo è la somma di due termini, ciascuno dei quali rappresenta il ritardo dovuto rispettivamente a una delle due bozze.
Quindi l'errore sul fronte d'onda è la somma punto per punto degli errori indotti da ciascuna superficie, che sono a loro volta uguali all'errore superficiale moltiplicato per (n-1).
